Euclide

Pour calculer une somme de plusieurs termes tous égaux, il peut être intéressant de transformer cette somme en un produit. Par exemple, pour calculer

on effectuera

Inversement, une multiplication peut être réécrite sous la forme d’une addition de plusieurs termes égaux.

Ou si on préfère :

Cette façon de procéder va nous permettre de multiplier un nombre positif par un nombre négatif.

Ainsi, lorsqu’on multiplie un nombre positif par un nombre négatif, on peut se ramener à une addition de nombres négatifs (tous égaux). On peut alors affirmer que le résultat sera négatif et on obtient une première règle simple.

Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.

Que se passe-t-il lorsqu’on décide de multiplier un nombre négatif par un autre nombre négatif ? Prenons l’exemple suivant :

Ce qui suit n’est pas une preuve mais a pour but de nous convaincre de la validité du résultat obtenu.

Le prolongement des calculs “au delà du zéro” pour le premier facteur conduit à un résultat surprenant lorsqu’on le rencontre pour la première fois.

Le produit deux nombres négatifs est positif.

Pourquoi a-t-on un peu de mal admettre que deux négatifs conduisent à un résultat positif ? Probablement à cause de la règle d’addition de deux nombres négatifs. En effet, si l’on additionne deux nombres négatifs, on obtient un résultat négatif avec une distance à zéro supérieure à celle de chacun des termes de l’addition.
Souvenez-vous, les pertes s’accumulent … !

Voici quelques exemples où l’on multiplie un négatif par un négatif.

Il est intéressant d’observer l’effet produit par lorsqu’on multiplie un nombre (positif ou négatif) par -1.

On comprend très vite que cette multiplication permet de “passer” d’un nombre a son opposé. C’est un résultat qu’il est important de garder en mémoire.

Revenons un instant sur le produit de deux négatifs en faisant apparaître des multiplications par -1. Là encore, il ne s’agit pas de démontrer mais de convaincre …

Un dernier exemple.

La lecture de cet article nécessite de savoir additionner deux nombres relatifs. Si nécessaire, on pourra se reporter à l’article précédent :

  Addition de deux nombres relatifs.

Dans certains cas, il est facile de se convaincre que soustraire un nombre relatif équivaut à ajouter son opposé.

Que se passe-t-il lorsque l’on souhaite soustraire 9 à 2 ?
Ici, plutôt que de soustraire 9 directement, on peut avoir l’idée de soustraire successivement 2 puis 7.

Voilà qui vient confirmer la règle puisque

Qu’en est-il si l’on décide de soustraire 9 à -2 ?
Les calculs suivants devraient nous convaincre que la règle proposée reste valable.

En diminuant d’une unité le premier terme de la soustraction, on diminue également le résultat obtenu.

Les choses semblent se compliquer si le deuxième terme est un nombre négatif. Par exemple, comment soustraire -3 à 7 ?
Là encore, ce qui suit ne constitue pas une preuve mais permettra sans doute à chacun d’être convaincu par le résultat obtenu.

En diminuant à chaque fois le deuxième terme d’une unité, on constate que dans le même temps, le résultat de la soustraction augmente d’une unité.
On comprend pourquoi soustraire un nombre négatif, a pour effet de donner un résultat plus grand que le premier terme de la soustraction (ce qui est contraire à l’intuition).

Finalement, on peut transformer chaque soustraction en une addition équivalente. On retiendra donc la règle suivante.

Pour soustraire un nombre relatif
il suffit d’ajouter son opposé .

Un dernier exemple …

Où l’on découvre que malgré la présence de trois signes moins, le résultat est malgré tout positif !

Pour aborder l’addition de deux nombres relatifs, nous allons partir d’un exemple concret où il est question de points gagnés et de points perdus.

Paul joue à un  jeu vidéo. À l’issue de chaque partie, il gagne ou perd un certain nombre de points. Les points gagnés sont représentés par un nombre positif (avec ou sans le signe  ) tandis que les points perdus sont représentés par un nombre négatif.

Dans le cas où Paul gagne successivement 3 points et 7 points, on peut écrire le calcul suivant.

Rien d’extraordinaire … Les deux gains s’ajoutent pour donner un gain plus important et le résultat est positif.

Supposons que Paul perde 3 points puis 7 points.
Cette fois, les pertes s’accumulent pour donner une perte plus importante. Le résultat est donc négatif et pour trouver le nombre de points perdus, on additionne les nombres sans les signes (on dit aussi les distances à zéro).

Imaginons maintenant un gain de 3 points suivi d’une perte de 3 points. Le bilan est de zéro point.

Le gain et la perte sont de même importance donc ils s’opposent et s’annulent. On dit que les deux nombres sont opposés.

Que se passe-t-il si Paul perd 3 points avant d’en gagner 7 ?
Ici on peut avoir l’idée de décomposer le gain de 7 points en un gain de 3 points suivi d’un gain de 4 points.

Paul gagne 4 points.
Le gain est plus important que la perte donc le bilan est positif. Pour connaître le nombre de points gagnés, il suffit de calculer la différence entre les nombres sans les signes (les distances à zéro).

Il reste un dernier cas à envisager : Paul gagne 3 points avant d’en perdre 7. Perdre 7 points équivaut à perdre successivement 3 points puis 4 points. On peut alors rédiger les calculs de la façon suivante.

Paul perd 4 points.
La perte est plus importante que le gain donc le bilan est négatif. Pour connaître le nombre de points perdus, on calcule la différence entre les distances à zéro.

Récapitulons …

• Dans le cas de deux gains, le résultat est positif et on additionne les distances à zéro.
• Dans le cas de deux pertes, le résultat est négatif et on additionne les distances à zéro.
• Dans le cas d’un gain et d’une perte, on peut envisager trois cas.

Si le gain est plus important que la perte, alors le résultat est positif.
  Si la perte est plus importante que le gain, alors le résultat est négatif.
Si la perte et le gain sont de même importance, alors le résultat est égal à zéro.
À chaque fois, on calcule la différence entre les distances à zéro.