Pour aborder l’addition de deux nombres relatifs, nous allons partir d’un exemple concret où il est question de points gagnés et de points perdus.
Paul joue à un jeu vidéo. À l’issue de chaque partie, il gagne ou perd un certain nombre de points. Les points gagnés sont représentés par un nombre positif (avec ou sans le signe 
) tandis que les points perdus sont représentés par un nombre négatif.
Dans le cas où Paul gagne successivement 3 points et 7 points, on peut écrire le calcul suivant.
Rien d’extraordinaire … Les deux gains s’ajoutent pour donner un gain plus important et le résultat est positif.
Supposons que Paul perde 3 points puis 7 points.
Cette fois, les pertes s’accumulent pour donner une perte plus importante. Le résultat est donc négatif et pour trouver le nombre de points perdus, on additionne les nombres sans les signes (on dit aussi les distances à zéro).
Imaginons maintenant un gain de 3 points suivi d’une perte de 3 points. Le bilan est de zéro point.
Le gain et la perte sont de même importance donc ils s’opposent et s’annulent. On dit que les deux nombres sont opposés.
Que se passe-t-il si Paul perd 3 points avant d’en gagner 7 ?
Ici on peut avoir l’idée de décomposer le gain de 7 points en un gain de 3 points suivi d’un gain de 4 points.
Paul gagne 4 points.
Le gain est plus important que la perte donc le bilan est positif. Pour connaître le nombre de points gagnés, il suffit de calculer la différence entre les nombres sans les signes (les distances à zéro).
Il reste un dernier cas à envisager : Paul gagne 3 points avant d’en perdre 7. Perdre 7 points équivaut à perdre successivement 3 points puis 4 points. On peut alors rédiger les calculs de la façon suivante.
Paul perd 4 points.
La perte est plus importante que le gain donc le bilan est négatif. Pour connaître le nombre de points perdus, on calcule la différence entre les distances à zéro.
Récapitulons …
- Dans le cas de deux gains, le résultat est positif et on additionne les distances à zéro.
- Dans le cas de deux pertes, le résultat est négatif et on additionne les distances à zéro.
- Dans le cas d’un gain et d’une perte, on peut envisager trois cas.
Si le gain est plus important que la perte, alors le résultat est positif.
Si la perte est plus importante que le gain, alors le résultat est négatif.
Si la perte et le gain sont de même importance, alors le résultat est égal à zéro.
À chaque fois, on calcule la différence entre les distances à zéro.