Pour calculer une somme de plusieurs termes tous égaux, il peut être intéressant de transformer cette somme en un produit. Par exemple, pour calculer
on effectuera
Inversement, une multiplication peut être réécrite sous la forme d’une addition de plusieurs termes égaux.
Ou si on préfère :
Cette façon de procéder va nous permettre de multiplier un nombre positif par un nombre négatif.
Ainsi, lorsqu’on multiplie un nombre positif par un nombre négatif, on peut se ramener à une addition de nombres négatifs (tous égaux). On peut alors affirmer que le résultat sera négatif et on obtient une première règle simple.
Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.
Que se passe-t-il lorsqu’on décide de multiplier un nombre négatif par un autre nombre négatif ? Prenons l’exemple suivant :
Ce qui suit n’est pas une preuve mais a pour but de nous convaincre de la validité du résultat obtenu.
Le prolongement des calculs “au delà du zéro” pour le premier facteur conduit à un résultat surprenant lorsqu’on le rencontre pour la première fois.
Le produit deux nombres négatifs est positif.
Pourquoi a-t-on un peu de mal admettre que deux négatifs conduisent à un résultat positif ? Probablement à cause de la règle d’addition de deux nombres négatifs. En effet, si l’on additionne deux nombres négatifs, on obtient un résultat négatif avec une distance à zéro supérieure à celle de chacun des termes de l’addition.
Souvenez-vous, les pertes s’accumulent … !
Voici quelques exemples où l’on multiplie un négatif par un négatif.
Il est intéressant d’observer l’effet produit par lorsqu’on multiplie un nombre (positif ou négatif) par -1.
On comprend très vite que cette multiplication permet de “passer” d’un nombre a son opposé. C’est un résultat qu’il est important de garder en mémoire.
Revenons un instant sur le produit de deux négatifs en faisant apparaître des multiplications par -1. Là encore, il ne s’agit pas de démontrer mais de convaincre …
Un dernier exemple.
