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Diviseurs d’un entier naturel

On considère deux entiers positifs n et d avec d non nul.
Le nombre d est un diviseur de n si le reste de la division euclidienne de n par d est égal à zéro. Il existe alors un entier b tel que :

$n = d \times b$

Par exemple, l’égalité $60 = 3 \times 20$ montre que 3 et 20 sont deux diviseurs de 60. Les égalités suivantes indiquent comment établir la liste des diviseurs de 60.

$60 = 1 \times 60$
$60 = 2 \times 30$
$60 = 3 \times 20$
$60 = 4 \times 15$
$60 = 5 \times 12$
$60 = 6 \times 10$

Le nombre 60 a donc 12 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.

Division euclidienne

On appelle division euclidienne de deux entiers positifs, la division avec quotient et reste. Le quotient doit être entier, cela signifie que l’on ne va pas au delà de la virgule. Si le reste est égal zéro, alors le quotient obtenu est aussi le quotient exact des deux nombres.
Dans une division euclidienne, le reste est inférieur au diviseur. Si l’on nomme a le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste, on a l’égalité :

$a = b \times q + r$

Exemple :

$365 = 7 \times 52 + 1$

La division euclidienne intervient souvent dans les problèmes de partage. Elle est également utilisée dans l’algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de deux nombres.

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