Extraits du document ressource pour le socle commun dans l’enseignement des mathématiques au collège, Palier 3 (fin de scolarité obligatoire), Compétence 3, Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique (mai 2011) :

Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne.

La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. La résolution de problèmes est le vecteur principal de l’évaluation.

Pour donner du sens aux mathématiques enseignées et cultiver chez les élèves le goût de faire des mathématiques, les programmes recommandent d’introduire certaines notions au travers d’une situation-problème.

La méthode de résolution par essai-erreur, qui est à valoriser lors de l’apprentissage, doit l’être encore lors de l’évaluation.

Les nouveaux savoirs ne seront pas nécessairement construits par les élèves. Des apports de type plus transmissif peuvent être faits par le professeur. Pour autant il est important de valoriser des approches empiriques.

Il est nécessaire d’ouvrir les questions posées aux élèves, ouvrir le questionnement favorise l’activité de chacun en augmentant la palette des stratégies accessibles.

Apprendre à résoudre un problème c’est aussi apprendre à communiquer son raisonnement, Apprendre à rédiger un raisonnement est bien un objectif de formation du programme mais la mise en forme écrite d’un raisonnement ne fait pas partie des exigibles du socle commun

L’objectif de toute activité mathématique est bien la résolution de problèmes mais cet objectif ne peut être atteint sans un passage par un travail de « gammes », prélude à la mémorisation et à l’acquisition des automatismes indispensables.

Adopter une pédagogie du détour est souvent efficace.

Mettre en œuvre le socle commun consiste concrètement à faire vivre en classe deux objectifs de formation :

• Permettre aux élèves d’acquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite d’études (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester l’ambition pour tous.

• Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves d’acquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que l’on peut qualifier de nécessaire pour tous.

Une progression spiralée pour donner du temps à tous.

L’organisation en spirale de la progression était déjà recommandée dans les programmes mais l’apparition du socle commun en renforce notablement les avantages.

• Elle permet de gérer la priorité à donner aux aptitudes du socle sur celles du programme qui sont hors socle. Une progression spiralée offre sur chaque thème des approfondissements successifs proposés à plusieurs reprises durant l’année.

• Elle permet de mettre en place une évaluation, voire une validation, des aptitudes respectant les rythmes d’apprentissage individuels des élèves. En multipliant les réinvestissements sur différents thèmes, elle favorise l’entretien et la consolidation dans la durée des aptitudes acquises. Mais elle permet aussi de multiplier et de renouveler au fil du temps les occasions d’évaluation d’aptitudes que certains élèves mettent plus de temps que d’autres à construire.

Quelques manifestations d’une progression en spirale.

• L’entraînement au quotidien, à petites touches.

• La phase d’institutionnalisation est différée car institutionnaliser trop tôt a souvent pour effet de donner l’impression à l’élève qu’il s’agit ensuite d’appliquer une recette. Il faut en effet beaucoup se méfier des recettes, car une recette n’est pas pour un élève le moyen de comprendre plus vite. Cela devrait rester pour tout élève le moyen d’aller plus vite une fois qu’il a compris.

  De plus, un objectif majeur consiste à mettre à tout moment tout élève en activité mathématique, alors qu’appliquer une technique non comprise ne peut être considéré comme une activité mathématique.

• Préparation des apprentissages (évaluation diagnostique)

Dans le cadre de l’évaluation de la compétence 3, on peut se concentrer sur huit items répartis dans deux des domaines figurant dans la grille de référence relative à la compétence 3.

À l’intérieur du domaine « Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des problèmes » :

• C1 : Rechercher, extraire et organiser l’information utile

• C2 : Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer une consigne

• C3 : Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer

• C4 : Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté

À l’intérieur du domaine « savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques » :

• D1 : Organisation et gestion de données

• D2 : Nombres et calculs

• D3 : Géométrie

• D4 : Grandeurs et mesures

L’évaluation des compétences du socle commun, en vue d’éclairer une prise de décision collective de validation, n’impose pas d’observer de façon fine les traces de la mise en œuvre par un élève d’un nombre important de savoirs ou de savoir-faire distincts. Il est raisonnable de se limiter à repérer les réussites de chaque élève sur les huit items précédemment cités.

Chaque trimestre, il est possible de disposer d’au moins trois évaluations de ce type.

On peut aussi évaluer au cœur même d’un travail de recherche individuelle ou en groupes.

Extraits de Programme, introduction et préambule pour le collège : Arrêté du 9 juillet 2008. et

Principaux éléments de mathématiques, – Vade-mecum – (Septembre 2009), Direction générale de l’enseignement scolaire :

L’enseignement des mathématiques conduit à goûter le plaisir de découvrir par soi-même rationnellement et non sur un argument d’autorité. Faire des mathématiques, c’est se les approprier par l’imagination, la recherche, le tâtonnement et la résolution de problèmes, dans la rigueur de la logique et le plaisir de la découverte.

Les programmes du collège privilégient pour les disciplines scientifiques une démarche d’investigation. Une présentation par l’enseignant est parfois nécessaire, mais elle ne doit pas, en général, constituer l’essentiel d’une séance dans le cadre d’une démarche qui privilégie la construction du savoir par l’élève. Il appartient au professeur de déterminer les sujets qui feront l’objet d’un exposé et ceux pour lesquels la mise en œuvre d’une démarche d’investigation est pertinente.

À travers la résolution de problèmes, les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. Dans cette optique, l’enseignant réalise des synthèses plus globales, à l’issue d’une période d’étude.

Dans cette perspective, la répétition d’exercices vides de sens pour l’élève à un moment donné n’est pas la meilleure stratégie pour favoriser la maîtrise d’une capacité. Il convient d’envisager que c’est parfois dans le cadre d’un travail ultérieur, en travaillant sur d’autres aspects de la notion en jeu ou sur d’autres concepts, qu’une capacité non maîtrisée à un certain moment pourra être consolidée.

Dans la plupart des cas, les capacités ne s’acquièrent ni isolément les unes des autres, ni en une seule fois. Pour prendre sens pour les élèves, les notions mathématiques et les capacités qui leur sont liées gagnent à être mises en évidence et travaillées dans des situations riches, à partir de problèmes à résoudre, avant d’être entraînées pour elles-mêmes. Il faut également prendre en compte le fait que tout apprentissage se réalise dans la durée, dans des activités variées et que toute acquisition nouvelle doit être reprise, consolidée et enrichie.

Outre le fait qu’un calcul réfléchi est pour tout élève une excellente occasion de raisonner, maîtriser la culture mathématique nécessaire au citoyen impose de façon très prioritaire la maîtrise du sens des opérations et du calcul réfléchi.